2.2.6 VARIANZA

En Teoría de Probabilidad y la Estadística, la varianza es aquella medida de dispersión que ostenta una variable aleatoria respecto a su esperanza. La varianza se relaciona con la desviación típica o desviación estándar, la cual se denota a través de la letra griega denominada sigma y que será la raíz cuadrada de la varianza.

EJEMPLO:

Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

EJEMPLO:

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .

                  

2.2.5 DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Ejemplos:

1.-Determina la desviación media del siguiente conjunto de datos:

Intervalo	Frecuencia	Marca de clase
10-20	3	15
20-30	12	25
30-40	22	35
40-50	27	45
50-60	36	55
60-70	31	65
70-80	33	75
80-90	22	85
90-100	14	95
10+20/2=15	n= 200

= (3x15) + (12x25) + (22x35) + (27x45) + (36x55) + (31x65) + (33x75) +( 22x85) + (14x95)/200

= 45+300+770+1215+1980+2015+2475+1870+1330/200

= 12000/200  = 60

D.M = 3 {15-60} +12 {25-60} +22 {35-60} +27 {45-60} +36 {55-60} +31 {65-60} +33 75-60} +22 {85-60} +14 {95-60}/200

D.M = (3x45) (12x35) (22x25) (27x15)(36x5) (31x5)(33x15)(22x25)(14x35)/200

D.M = 135 + 420 + 550 + 405 + 180 +155 +495 +550 +490/200

=3380/200  =16.9

2.- Obtén el valor de la desviación media para el siguiente conjunto de datos:

Intervalo	Frecuencia	Marca de clase
1.0-1.9	6	1.95
2.0-2.9	14	3.45
3.0-3.9	20	4.95
4.0-4.9	32	6.45
5.0-5.9	24	7.95
6.0-6.9	15	9.45
7.0-7.9	9	10.95
1.0+1.9=1.95	N=120

=(6x1.95)(14x3.45)(20x4.95)(32x6.45)(24x7.95)(15x9.45)(9x10.95)/120

=11.7+48.3+99+206.4+190.8+141.75+98.55/120

=796.5/120= 6.6375

D.M= 6 {1.95-6.6375} +14 {3.45-6.6375} +20 {4.95-6.6375} +32 {6.45-6.6375} +24 {7.95-6.6375} +15 {9.45-6.6375} +9 {10.95-6.6375}/120

=6 {-4.6875} 14 {-3.1875} 20 {-1.6875} 32 {-0.1875} 24 {1.3125} 15 {2.8125} 9 {4.3125}/120

= (6x-4.6875)(14x-3.1875)(20x-1.6875)(32x-0.11875)(24x1.3125)(15x2.8125)(9x4.3125)/120

= 28.125+-44.625+33.75+6+31.5+42.1875+38.8125/120

=225/120  =1.875

Ejercicios Propuestos:

1.- Determinar la desviación media para el siguiente conjunto de datos:

Intervalo	Frecuencia	Marca de clase
5-10	8
10-15	2
15-20	15
20-25	11
25-30	6
30-35	8
	N=

2.- Determine la desviación media para el siguiente conjunto de datos:

Intervalo	Frecuencia	Marca de clase
25-50	18
50-75	25
75-100	16
100-125	20
125-150	6
150-175	10
	N=

Referencias:

http://fcps.uaq.mx/descargas/prope2014/estadistica/4/medidas_dispersion.pdf

http://www.fder.edu.uy/contenido/rrii/contenido/curricular/estadistica/010102.pdf

2.2.3 DESVIACIÓN MEDIA

La desviación media o desviación promedio es abreviada por MD. Mide la desviación promedio de valores con respecto a la media del grupo, sin tomar en cuenta el signo de la desviación.

2.2.4 Desviación media para datos no agrupados

Ejemplos:

1.-Determine el valor de la desviación media para el siguiente conjunto de datos: 4, 14, 12, 8, 12, 6, 16,8

Ø  D.M= 4+14+12+8+12+6+16+8/8 = 80/8 = 10

Ø  D.M= {4-10} + { 14-10}+{ 12-10} + {8-10} + {12-10} + {6-10} + {16-10} + {8-10}/8

Ø  ={-6} + {4} + {2} + {-2} + {2} + {-4} + {6} + {-2}/8

Ø  = 6+4+2+2+22+6+2/8

Ø  =28/8 = 3.5

2.- Obtén la desviación media del siguiente conjunto de datos: 0.3, 2.1, 7.2, 4.3, 5.7, 8.3, 4.4, 6.5, 3.2, 4.0

Ø  D.M= 0.3 +  2.1 + 7.2 +  4.3 +  5.7 +  8.3 +  4.4 +  6.5 +  3.2 +  4.0 = 46/10 = 4.6

Ø  D.M= {0.3-4.6} + +{2.1-4.6} + {7.2-4.6} + {4.3-4.6} + {5.7-4.6} + {8.3-4.6} + {4.4-4.6} + {6.5-4.6} + {3.2-4.6} + {4.0-4,6}/10

Ø  D.M= {-4.3} + {-2.5} + {2.6} + {-0.3} + {1.1} + {3.7} + {-0.2} + {1.9} + {-1.4} + {-0.6}/10

Ø  D.M= 4.3+2.5+2.6+0.3+1.1+3.7+0.2+1.9+1.4+0.6

Ø   = 18.6/10 = 1.86

Ejercicios propuestos:

1.- Obtén la desviación media de los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Ø   

2.- Obtén la desviación media de los siguientes datos: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Ø   

2.2.2 RANGO

Hay dos formas para determinar el rango para datos agrupados:

 1) Rango = punto medio de la clase más alta – punto medio de la más baja.

 2) Rango = límite superior de la clase más alta – límite inferior de la más baja.

 Ventajas

•        Es relativamente sencilla su obtención

•        El significado de ésta medida es fácil de comprender

 Limitaciones

•        Considera sólo los valores extremos de un conjunto, y no proporciona mayor información respecto a los demás valores del mismo

•        Tiene una limitada utilidad para los distintos tipos de análisis estadísticos

Ejemplos:

1.-Distribución de encuestados según su edad:

Ø  20, 49, 59, 18, 32, 32, 63, 24, 20, 32, 53, 48.

Ø  Rango: 63 – 18 = 45

2.-Distribución de encuestados según su peso:

Ø  45, 54, 67, 46, 67, 40, 56, 52, 41, 70, 58, 69.

Ø  Rango: 70 – 40 = 30

Ejercicios Propuestos:

1.-Obtener el Rango de las siguientes cantidades de personas:

Ø  4, 5, 8, 9, 24, 12, 7, 13, 22, 18, 3, 6, 10.

Ø   

2.-Obtener el Rango de las siguientes cantidades de animales:

Ø  11, 21, 23, 24, 10, 25, 7, 6, 5, 8, 11, 13,.

2.2.1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS NO AGRUPADOS

La variación o diseminación entre los valores de observación.

Es decir, cual es la diferencia que hay entre los datos obtenidos; de un conjunto de observaciones analizar la variedad que exhiben los valores de los datos.

2.1.9 MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Ejemplos:

1.     1.      

      Hallar la mediana en el siguiente conjunto de datos:

4, 4, 7, 13, 14, 14, 17, 19, 19, 21, 23, 23, 25

     2.      Hallar la mediana en el siguiente conjunto de datos:

5, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 20, 23, 25, 26, 28,

2

              X = 15 + 18 = 16.5

Ejercicios:

1.      Hallar la mediana en el siguiente conjunto de datos:

10, 15, 16, 17, 20, 26, 28, 29, 33

2.      Hallar la mediana en el siguiente conjunto de datos:

25, 29, 31, 32, 35, 38, 39, 42, 46, 47, 49, 52, 58, 63

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

1.      Obtén la mediana

INTERVALO	FRECUENCIA	FRECUENCIA ACUMULADA
100-110	4	4
110-120	7	11
120-130	11	22
130-140	17	39
140-150	25	64
150-160	33	97
160-170	30	127
170-180	21	148
180-190	16	164
190-200	7	171

171   2

             =          = 85.5 = 86

Fa = 64                     X = 150 + [85.5 – 64 / 33] = 10

Fx = 33                        = 150 + (21.5 / 33) (10)

L = 150                        = 150 + 6.5151

C = 10                          = 156.5151

2.       Obtén la mediana

INTERVALO	FRECUENCIA	FRECUENCIA ACUMULADA
85-90	3	3
90-95	22	25
95-100	28	53
100-105	35	88
105-110	42	130
110-115	41	171
115-120	30	201
120-125	8	209
125-130	1	210

N/2 = 210/2 = 105

Fa = 88                X = 105 + [105 – 88 / 42] (6)

Fx = 42                   = 105 + [17/42] (6)

C = 6                       = 105 + 2.4285

L = 105                   = 107.4285  

Ejercicios: 

         

1.       Obtén la mediana

INTERVALO	FRECUENCIA	FRECUENCIA ACUMULADA
1-5	2	2
6-10	15	17
11-15	21	38
16-20	18	56
21-25	26	82
26-30	19	101
31-35	13	114
36-40	4	118

2.      Obtén la mediana

INTERVALO	FRECUENCIA	FRECUENCIA ACUMULADA
0-9	15	15
10-19	23	38
20-29	12	50
30-39	22	72
40-49	28	100
50-59	24	124
60-69	35	164
70-79	42	206
80-89	25	231
90-100	13	244

http://www.portaleducativo.net/octavo-basico/792/mediana-para-datos-agrupados