3.2.2 ESPACIO MUESTRAL.

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral se denota como S.

Ejemplo: Los resultados posibles del lanzamiento de un dado.

               S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo: Los resultados posibles del lanzamiento de una moneda.

               S = {Sello, Águila}

Los espacios muestrales se clasifican en:

• ESPACIO MUESTRAL DISCRETO: son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, siendo por lo general subconjuntos de los números enteros.
• ESPACIO MUESTRAL CONTINUO: son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de los números reales.

http://www.estudiaraprender.com/2011/12/13/probabilidad-frecuencial/

3.2.1 PRINCIPIO BASICO DE CONTEO.

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

                 / tasa de chocolate

    / chocolate <

   /             \ cono de chocolate

  /

 /         / tasa de fresa

<-- fresa <

 \         \ cono de fresa

  \

   \            / tasa de vainilla

    \ vainilla <

                \ cono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.

             / tasa de chocolate

            /

    / tasa <-- tasa de fresa

   /        \

  /          \ tasa de vainilla

 /             

< 

 \             

  \          / cono de chocolate

   \        /

    \ cono <-- cono de fresa

            \

             \ cono de vainilla

                                                      

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.

Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados.

3.2 NOCIONES BASICAS DE CONTEO.

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

·         EJEMPLO 1: tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n

10   9 x 8 = 720

·         EJEMPLO 2: ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

Ø  EJERCICIO 1: Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.) La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que

EJERCICIO 2: Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. El director puede elegir a la pareja principal de 6.8 = 48 formas. Esta regla también puede ampliarse a más de dos etapas

3.1.3 PROBABILIDAD ABSOLUTA.

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por “f_1”. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

·    EJEMPLO 1: Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

Construir la tabla de frecuencias.

·    EJEMPLO 2: Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Construir la tabla de frecuencias.

 

Ø  EJERCICIO 1: Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida en la siguiente tabla:

Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.

3.1.2 PROBABILIDAD RELATIVA.

La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos, o la fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una probabilidad. Determinamos qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro.

Se define la frecuencia de un evento a como el cociente que resulta de dividir el número de veces que sucedió el evento entre el número total de veces que se repitió el experimento, bajo el supuesto de que en cada repetición de experimento el evento A tiene la misma oportunidad de ocurrir es decir:

 

·         EJEMPLO 1: Se lanza un dado 50 veces, el experimento sale el numero 5 ocurre 8 veces, calcular la frecuencia relativa de dicho evento.

                                    Fa =  8  = 0.16

                                            50

Resultado: 0.16

·         EJEMPLO 2: En la caja hay 10 canicas rojas y 15 verdes, si extraemos canicas tras canicas con remplazo, hasta completar 80 y 20 de ellas fueron rojas calcular relativa de dicho evento.

                                    Fa =  20  = 0.25

                                             60

Resultado: 0.25

Ø  EJERCICIO 1: De los 10 hombres y 20 mujeres de salón extraemos alumnos tras alumnos con reemplazo hasta completar 47 de ellos 22 fueron mujeres. Tener la Frecuencia Relativa de dicho evento.       

                             

Ø  EJERCICIO 2: Se lanza una moneda 100 veces el águila salió 45 veces, Calcular la Frecuencia Relativa de dicho evento. 

3.1.1 PROBABILIDAD FRECUENCIAL.

La probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Pero esto no significa que sea definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen. La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento.

                       P(A) =         Número de veces que ocurre el evento

                                Número total de veces que se realiza el experimento.

·         EJEMPLO 1: ¿Cuál será la probabilidad de que caiga un número impar al lanzar un dado?

                   P(A) =  3 = 1 =  0.5           0.5*100= 50.0%

                               6    2

Resultado: 50.0%

·         EJEMPLO 2: ¿Cuál será la probabilidad de que caiga un numero par al lanzar dos dados?

P(A) =  6 = 3 =  1         0.5*100= 50.0%

            12   6     2

Resultado: 50.0%

Ø  EJERCICIO 1: ¿Cuál será la probabilidad deque al lanzar dos dados la suma sea múltiplo de 3?

Ø  EJERCICIO 2: ¿Cuál será la probabilidad que al tener un juego de domino y levantar una ficha, la suma de sus puntos sea 9?

3.2.2 APLICACIONES ACTUALES DE LA PROBABILIDAD:

Una de las primeras aplicaciones de la probabilidad fue en las ciencias actuariales, que comprenden el estudio de seguros de vida, fondos de pensiones y problemas relacionados. Otro uso importante de la probabilidad está en la estadística, la cual penetra en una multitud de campos, tales como finanzas, economía, biología, psicología y las ciencias sociales en general. El cálculo de probabilidades también se emplea en la física y química modernas y en muchas ingenierías, como por ejemplo en la teoría de ajuste por mínimos cuadrados, en el estudio de problemas de aglomeración (problemas de tráfico), en la teoría de muestreo y en el control de calidad de productos manufacturados.

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas causalidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad. Así mismo es la parte de la

Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político.

Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.

Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna.

3.1.1 DEFINICION DE PROBABILIDAD:

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.

El estudio científico de la probabilidad, a diferencia de lo que ha ocurrido con otras cuestiones matemáticas (porque obviamente ambas disciplinas están estrechamente vinculadas entre sí), no resulta ser una preocupación que se remonta a la antigüedad, por ejemplo, tiempos en los que la mayoría de los grandes pensadores ocupaban aparentemente sus pensamientos en otras cuestiones más determinantes para esa época. Entonces, el estudio y la profundización acerca de la cuestión de la probabilidad, se puede decir que es más bien un acontecimiento moderno.

2.2.8 VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS:

 

Nótese que la varianza tiene las unidades que tiene los datos al cuadrado. Sin embargo,  si obtenemos la raíz cuadrada positiva tendremos

Éste último se conoce como desviación estándar. Debido a que la desviación estándar tiene las mismas unidades que la media, la desviación estándar es más utilizada que la varianza. Esta notación de  se utiliza para denotar la media y la desviación estándar de una muestra, sin embargo, si la muestra es toda la población se utilizara  , para la media y desviación estándar de una población. Estas dos medidas junto con la media, seguramente, son las más utilizadas en todo análisis estadístico.

 EJEMPLO:

Obtener la varianza y desviación estándar de la siguiente muestra, que nos indica el número de cigarros que son consumidos en promedio al día por un conjunto de 20 encuestados. 

2	4	10	6	0	4	1	0	3	6
10	2	4	2	3	2	5	5	8	0

reportamos la tabla de la diferencia de cuadrados  :

3.4225	0.0225	37.8225	4.6225	14.8225	0.0225	8.1225	14.8225	0.7225	4.6225
37.8225	3.4225	0.0225	3.4225	0.7225	3.4225	1.3225	1.3225	17.2225	14.8225

 por lo para determinar la desviación estándar basta con obtener la raíz cuadrada, con lo que finalmente la desviación estándar es igual a:

cigarros.

2.2.7 VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS:

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

EJEMPLO:

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

EJEMPLO:

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050